Свойство-градиента-дивергенции.md

+## Аналитическая формулировка
+
+Пусть есть скалярное поле $h$ и векторное поле $\vec{v}$ в замкнутой двумерной или трехмерной области $\Omega$. Тогда, в силу интегрирования по частям и теоремы Остроградского Гаусса
+
+$$
+\int_\Omega \vec v \cdot \nabla h \,d\Omega = 
+- \int_\Omega h \nabla\cdot\vec v \,d\Omega
+$$
+
+Если в $\Omega$ задана криволинейная система координат $(\alpha, \beta, \eta)\rightarrow (x,y,z)$, то первый интеграл записывается следующим образом:
+
+$$
+\int_\Omega \vec v\cdot\nabla h \, d \Omega = 
+\int_\Omega \left(v^\alpha\frac{\partial h}{\partial\alpha}+
+v^\beta\frac{\partial h}{\partial\beta}+
+v^\eta\frac{\partial h}{\partial\eta}\right) J \, d\alpha\,d\beta\,d\eta,
+$$
+
+где $v^\alpha,v^\beta,v^\eta$ - контравариантные компоненты вектора $\vec v$, $J$ - Якобиан преобразования.
+
+Более короткий способ записи соотношения между градиентом и дивергенцией - через $L_2$ скалярное произведение:
+
+$$
+(\vec v,\nabla h) = -(h,\nabla\cdot \vec v).
+$$
+
+**Выполнение этого соотношения между градиентом и дивергенцией является необходимым для устойчивости и сохранения энергии.**
+
+### Связь с устойчивостью линеаризованной системы
+
+Введя некоторые предположения, можно упростить систему уравнений динамики атмосферы до
+
+$$
+\frac{\partial\vec v}{\partial t} = -\nabla P,
+$$
+
+$$
+\frac{\partial P}{\partial t} = -c^2\nabla\cdot \vec v, 
+$$
+
+которая описывает изотропное распространение волн с фазовой скоростью $c$.
+
+Покажем, что эта система имеет квадратичный инвариант (полная энергия) - $\mathcal E = (\vec v,\vec v)/2+c^{-2}(P,P)/2$:
+
+$$
+\frac{\partial \mathcal E}{\partial t} = (\vec v,\frac{\partial \vec v}{\partial t})+c^{-2}(P,\frac{\partial P}{\partial t}) = -(\vec v,\nabla P) -(P,\nabla\cdot\vec v) = 0.
+$$
+
+Таким образом, система имеет положительно определенный квадратичный инвариант, а значит устойчива.
+
+## Дискретные аналоги
+
+### Дискретная кинетическая энергия
+
+Пусть задана некоторая сетка и поле скорости задается тремя вектор-столбцами $\mathbf u$, $\mathbf v$, $\mathbf w$, содержащими точечные значения каких-то компонент $\vec v$, возможно в разных точках (разнесенная сетка). Кинетическую энергию $K=(\vec v,\vec v)/2$ тогда можно аппроксимировать так:
+
+$$
+K\approx = \begin{bmatrix}\mathbf u^T & \mathbf v^T & \mathbf w^T\end{bmatrix} J_{uvw} Q 
+\begin{bmatrix}\mathbf u \\ \mathbf v \\ \mathbf w\end{bmatrix},
+$$
+
+где $J_{uvw}$ - диагональная матрица
+
+$$
+J_{uvw} = \begin{bmatrix}
+           J_u & & \\
+                         & J_v & \\
+                         & & J_w
+           \end{bmatrix},
+$$
+
+составленная из диагональных матриц $J_x$ - значений Якобиана в соответствующих точках сетки.
+
+В простейшем случае, когда $\begin{bmatrix}\mathbf u^T & \mathbf v^T & \mathbf w^T\end{bmatrix}$ - значения ковариантных компонент вектора скорости в точках сетки, матрица $Q$ - дискретный обратный метрический тензор , т.е. преобразует ковариантные компоненты в контравариантные.
+
+**Матрица $J_{uvw}Q$ должна быть (1) симметричной, (2) положительно-определенной**.
+
+Рассмотрим самый простой случай: все компоненты скорости ветра определены в одних и тех же точках (полностью неразнесенная сетка), все являются ковариантными. Тогда $J_u = J_v = J_w$,
+
+$$
+Q = \begin{bmatrix}
+Q_{\alpha\alpha} & Q_{\alpha\beta} & Q_{\alpha\eta} \\
+Q_{\alpha\beta} & Q_{\beta\beta} & Q_{\beta\eta} \\
+Q_{\alpha\eta} & Q_{\beta\eta} & Q_{\eta\eta} \\
+\end{bmatrix},
+$$
+
+где $Q_{xy}$ - диагональные матрицы сеточных значений соответствующей компоненты обратного метрического тензора. Очевидно, что $(JQ)^T = Q^T J^T = QJ = JQ$, т.е. матрица симметрична. Положительная определенность следует из положительной определенности метрического тензора в каждой точке.
+
+### Дискретное свойство градиента-дивергенции